1.Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabiliidad de:
1Sea roja.
2Sea verde.
3Sea amarilla.
4No sea roja.
5No sea amarilla.
1Con reemplazamiento.
2Sin reemplazamiento.
1Sea hombre.
2Sea mujer morena.
3Sea hombre o mujer.
1La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.
2La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.
1La probabilidad de que salga el 7.
2La probabilidad de que el número obtenido sea par.
3La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.
1Salga 6 en todos.
2Los puntos obtenidos sumen 7.
1Un número par.
2Un múltiplo de tres.
3Mayor que cuatro.
1Dos caras.
2Dos cruces.
3Una cara y una cruz.
1Si se saca una papeleta.
2Si se extraen dos papeletas.
3Si se extraen tres papeletas.
1De que ambos vivan 20 años.
2De que el hombre viva 20 años y su mujer no.
3De que ambos mueran antes de los 20 años.
- Solución:
- Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)
- 68 ÷ 87 = 0.781609
- Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)
1. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?
m = 5 n = 5
Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
2. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?
Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.
3. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?
4. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?
m = 9 a = 3 b = 4 c = 2 a + b + c = 9
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
5. Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?
La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
6. ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Si es impar sólo puede empezar por 7 u 8
7. En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
8. ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería?
Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas.
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
9. Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?
Se forman dos grupos el primero de 2 personas y el segundo de 7 personas, en los dos se cumple que:
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
10. Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si:
1. Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.
2.Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.
11. Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas posibles pueden ordenarse?
12. Resolver las ecuaciones:
1. 
2. 
3. 
14. Calcular las permutaciones de 6 elementos.
P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
15. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?
m = 5 n = 5
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
16. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?
Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.
COMBINACIONES
1. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
No entran todos los elementos.
No importa el orden: Juan, Ana.
No se repiten los elementos.
2. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
3. A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
4. En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?
No entran todos los elementos. Sólo elije 4..
No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.
Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.
5. ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
6. ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices?
Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden trazar entre 2 vértices.
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
Son 
, a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que no son diagonales.
, a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que no son diagonales.
7. Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 5 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:
1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.
2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.
3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.
8. Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?
9. Resolver las ecuaciones combinatorias:
1. 
2. 
3. 
27 no es solución porque el número de orden en las combinaciones es menor que el número de elementos.
EVENTO MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y NO EXCLUYENTES ENTRE SI
1.¿Cuál es la
probabilidad de que al girar dos perinolas, ambas graduadas con los números del
1 al 6, se obtenga 4 en la perinola A o 6 en la perinola B?
La
probabilidad de que se obtenga 4 en la perinola A o 6 en la perinola B es?
P(A) = P(4) =
1/6
P(B) = P(6) = 1/6
P(A u B) = 1/6 + 1/6 - (1/6)(1/6) = 11/36
P(B) = P(6) = 1/6
P(A u B) = 1/6 + 1/6 - (1/6)(1/6) = 11/36
2.¿Cuál es la
probabilidad de que al girar dos ruletas, una ruleta graduada con los números
del 1 al 6 y otra con las letras de la A a la H, se obtenga 5 en una ruleta o B
en la otra ruleta?
La
probabilidad de obtener un 5 en una ruleta o B en la otra ruleta es?
P(A) =
P(5) = 1/6
P(B) = 1/8 (ya que hay 8 letras entre A y H)
P(A u B) = 1/6 + 1/8 - (1/6)(1/8) = 13/48
P(B) = 1/8 (ya que hay 8 letras entre A y H)
P(A u B) = 1/6 + 1/8 - (1/6)(1/8) = 13/48
3.Si se tira
un dado calcular la probabilidad de:
A caen 3
puntos o menos o
B caen 5
puntos o mas
Como son
Mutuamente excluyentes AnB=0
P(AoB)=P(a)+P(B)
=P(salen 3 o
menos)+P(salen 5 o mas)
=3/6 + 2/6
=5/6
4.Se tiene una
urna con 50 papeles de colores 15 rojos, 5 morados, 9 verdes, 11 naranjas y 10
azules.
Cual es la
probabilidad de:
A sale un
papel azul o
B sale un
papel rojo
P(AoB)=P(AuB)=P(A)+P(B)
=P(sale un
azul)+P(sale 1 rojo)
=10/50 +
15/50
=25/50
=1/2
5.En
la urna A tenemos 7 bolas blancas y 13 negros y en la urna B 12 blancas y 8
negras.
Cual es la
probabilidad de que se extraiga una bola blanca de cada una
P(AyB)=P(A)*P(B)
=7/20 * 12/20
=84/400
=81/100
6. En
una baraja de 52 cartas se toma una carta al azar luego se regresa y se toma
otra.
Cual es la
probabilidad de A la primera sea de diamantes, y B la segunda sea de tréboles.
P(AyB)=P(A) *
P(B)
=13/52 *
13/52
=169/2704
7. Un
lote de 27 artículos, tiene 11 defectuosos. Se toma al azar 5 artículos del
lote, uno tras otro. Hallar la probabilidad de que sean buenos.
p= 16/27 *
15/26 * 14/25 * 13/24 * 12/23 = 52416/968760
Se lanza una
moneda cargada, de modo que la probabilidad de que salga cara es de 2/3 y que
salga sello es 1/3.
Si sale cara
se escoge al azar un número del 1 al 9; si sale sello se escoge al azar un
número del 1 al 5.
Hallar la
probabilidad de que se escoja un número par.
P=2/3 * 4/9 +
1/3 * 2/5
= 8/27 + 2/15
=58/135
8. Supongase
que en una caja cerrada se tienen 3 canicas rojas, 3 canicas azules y 4 canicas
verdes. Se saca una sola canica ¿cual es la posibilidad de sacar una canica
roja?
Canicas
rojas: 3
Canicas
azules: 3
Canicas
verdes: 4
Total de
canicas: 3 + 3 + 4 = 10
P (x) = 3 / (
3 + 3 + 4) = 3/10 = 0,3 = 30%
Existe un 30%
de posiblidad de sacar una canica roja.
9. Considere
los sucesos A y B. Supóngase que P(A)= 0,4 ; P(B)= p yP(AUB)= 0,7 . ¿Para que
valor de p, los eventos A y B son mutuamente excluyentes? ¿Para que valor de p,
los eventos A y B son independientes?
Para que los
sucesos A y B sean mutuamente excluyentes entonces P(A⋂B) = 0
P(A⋃B) = P(A) + P(B) - P(A⋂B) ..... probabilidad de la unión.
Sustituyendo
los valores tenemos:
0.7 = 0.4 + P
- 0 ⇨ P
= 0.3
Para que los
sucesos A y B sean mutuamente excluyentes P = 0.3.
Para que los
sucesos Ay B sean independientes entonces P(A⋂B) = P(A)P(B)
P(A⋂B) = P(A)P(B) ..... condición de
eventos independientes.
Sustituyendo
los valores tenemos:
P(A⋂B) = 0.4*P ⇨ P = P(A⋂B) / 0.4
La relación
anterior se cumple con la única condición que P(A⋂B) ≠ 0 (no excluyentes).
Para que los
sucesos A y B sean independientes P = P(A⋂B)
/ 0.4 con P(A⋂B) ≠ 0
10. Si
haya una probabilidad del 10% de que Júpiter se alineará con Marte, y una
probabilidad del 50% de que su tirada de una moneda saldrá águilas, entonces
¿qué es la probabilidad de que Júpiter se alineará con Marte y su tirada de la
moneda saldrá águilas (suponiendo que Júpiter no tenga ningún efecto en el
resultado de su tirada)?
Aquí,
J: Júpiter se
alineará con Marte
A: Su tirada
saldrá águilas
Pues Júpiter
no tiene ningún efecto en su tirada de la moneda, tomamos estes sucesos como
independientes, y así la probabilidad de que ambos sucesos ocurrirán es
P(J ∩ A) = P(J)P(A) = (.10)(.50) = .05.
11. Una
caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica
es eliminada de la caja y luego reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál
es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea
verde?
Ya que la
primera canica es reemplazada, el tamaño del espacio muestral (9) no cambia de
la primera sacada a la segunda así los eventos son independientes.
P(azul luego
verde) = P(azul) · P(verde)
12. Una
caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica
es eliminada de la caja y no es reemplazada. Otra canica se saca de la caja.
Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica
sea verde?
Ya que la
primera canica no es reemplazada, el tamaño del espacio muestral para la
primera canica (9) es cambiado para la segunda canica (8) así los eventos son
dependientes.
P(azul luego
verde) = P(azul) · P(verde)
13. - Un
estudiante responde al azar a dos preguntas de verdadero o falso. Escriba el
espacio muestral de este experimento aleatorio.
Solución.
El espacio
muestral es el conjunto de todos los sucesos elementales. Los sucesos
elementales
son cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio,
indescomponibles en otros más simples. Como el experimento consiste en
responder al
azar a dos
preguntas, cada uno de los posibles patrones de respuesta constituirá un
suceso
elemental. Un patrón de respuesta sería contestar verdadero a la primera
pregunta y
verdadero a la segunda, lo representamos (V, V). Con esta representación
podemos
escribir el espacio muestral como:
E = {(V, V)
(V, F) (F, V) (F, F)}
- Otro
estudiante responde al azar a 4 preguntas del mismo tipo anterior.
a) Escriba el
espacio muestral.
b) Escriba el
suceso responder “falso” a una sola pregunta.
c) Escriba el
suceso responder “verdadero” al menos a 3 preguntas.
d) Escriba la
unión de estos dos sucesos, la intersección y la diferencia del 2º y el 1º.
e) La
colección formada por estos 5 sucesos, más el suceso seguro y el suceso
imposible
¿Constituyen un sigma-álgebra?
Solución
a) Con la
misma convención del problema anterior, los sucesos elementales serían:
(V, V, V, V)
(V, V, V, F) (V, V, F, V) (V, F, V, V)
(F, V, V, V)
(V, V, F, F) (V, F, V, F) (V, F, F, V)
(F, V, V, F)
(F, V, F, V) (F, F, V, V) (V, F, F, F)
(F, V, F, F)
(F, F, V, F) (F, F, F, V) (F, F, F, F)
b) El Suceso
responder falso a una sola pregunta será el subconjunto del espacio
muestral formado
por todos los sucesos elementales en que solo hay unarespuesta
falo, lo
llamaremos A y será:
A= {(V, V, V, F) È (V, V, F, V) È (V, F, V, V) È (F,
V, V, V)}
c) El suceso
responder verdadero al menos a 3 preguntas, lo llamaremos B y será:
B = {(V, V,
V, F) È (V, V, F, V) È (V, F, V, V) È (F, V, V, V) È (V, V, V, V)}
d) Observando
los sucesos elementales que los componen se deducen inmediatamente
los
siguientes resultados:
A È B = B A U
B = A B- A = {(V, V, V, V)}
13. Una
rata es colocada en una caja con tres pulsadores de colores rojo, azul y
blanco. Si pulsa dos veces las palancas al azar:
a) ¿Cuál es
la probabilidad de que las dos veces pulse la roja?
b) ¿Cuál es
la probabilidad de que pulse la primera vez o la segunda o ambas la tecla azul?
Solución
a) Para que
las dos veces pulse la roja tiene que ocurrir que la primera vez pulse la rojay
la segunda también pulse la roja, es decir que se verifique el suceso (R1 Ç
R2).Ahora bien , como ambos sucesos son independientes, la probabilidad de la
intersección es igual al producto de las probabilidades de ambos sucesos. La
probabilidad
de estos sucesos se determina mediante la regla de Laplace de casos
favorables
(uno), partido por casos posibles (tres)
P(R1 Ç R2) =
P(R1) · P(R2) = 1/3 · 1/3 = 1/9
b) En este
apartado, claramente, nos piden la probabilidad de la unión de los sucesos
pulsar azul la primera vez y pulsar azul la segunda. Ahora bien, estos dos
sucesos no son incompatibles, luego la probabilidad de la unión será igual a la
suma de las probabilidades menos la probabilidad de la intersección. La
probabilidad de la intersección, al igual que en el apartado anterior, se
calcula basándonos en el hecho de que son independientes.
P(A1 È A2) =
P(A1) + P(A2) – P(A1 Ç A2) = 1/3 + 1/3 – 1/9 = 5/9
14. Hay 87
canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la
probabilidad de que esta sea verde?
Solución:
Divide la
cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de
canicas (87)
68 ÷ 87 =
0.781609
Redondea a la
precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)
15.Si yo
tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10
manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?
Para este
ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos
posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una manzana mis casos
favorables son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas. Así, aplicando la
fórmula obtenemos que:
P(Manzana)=10/30=1/3=
33.3% probable
Calculando
igual, la probabilidad de sacar pera es:
P(Pera)=20/30=2/3=
66.7% probable
Como 66.7 es
mayor que 33.3 es más probable que saque una pera, pues hay más peras que
manzanas en la canasta.
16. En 15
minutos podemos determinar como máximo si cuatro donantes son del tipo
requerido, ya que en el peor de los casos si los 4 primeros no son del tipo
adecuado ya no nos daría tiempo a la transfusión, (ya que 5 pruebas * 3 minutos
= 15 minutos) asi que tenemos que deternimar la probabilidad que como máximo el
cuarto donante sea del tipo buscado, para esto necesitamos la distribución
geometrica,
P(X=x) =
p*(1-p)^(x-1)
donde
p=0.20 (20%)
y debemos
calcular
P(X<=4) =
P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)
P(X=1) = 0.2*(1-0.2)^(1-1) = 0.2
P(X=2) =
0.2*(1-0.2)^(2-1) = 0.16
P(X=3) =
0.2*(1-0.2)^(3-1) = 0.128
P(X=4) =
0.2*(1-0.2)^(4-1) = 0.1024
Y sumando las
probabilidades
P(X<=4) =
0.5904
Que tambien
se puede calcular directamente sabiendo que
P(X<=x) =
1-(1-p)^x
P(X<=4) =
1-(1-0.2)^4 = 0.5904 como anteriormente.
Por lo tanto
la probabilidad que sobreviva es de 0.5904 (59.04%)
17. Al
lanzar un dado tres veces, ¿según las probabilidades,
es
conveniente apostar a favor o en contra de obtener al menos una vez el 2?
"Al
menos una vez el 2" quiere decir "alguna vez
se obtiene el
2". Llamando A={alguna vez se obtiene
el 2}, su
complemento es
Ac={ninguna
vez se obtiene el 2}
P(Ac)=P(no
sale 2 en 1er lanzam.)• P(no sale 2 en 2º
lanzam.)•P(no
sale 2 en 3er lanzam.)=5/6•5/6•5/6
=125/216 0,58.
Luego, como
P(A)+P(Ac)=1
P(A)=1-0,58=0.42=42%.
Por lo tanto, no conviene
apostar a
favor.
18. En una
tómbola hay dos bolitas blancas y tres bolitas negras, ¿cuál es la probabilidad
de sacar una blanca y después una negra?
a) Si hay
reposición, esto es, después de sacar la primera bolita, ésta se devuelve
a la tómbola.
b) Si no hay
reposición, esto es, después de sacar la primera bolita, ésta no se
devuelve a la tómbola.
a) En este
caso los eventos son independientes ya que al reponer la bolita la
ocurrencia de un evento no afecta al otro.
Sean los
eventos A: "sacar una bolita blanca" y B: "sacar una bolita
negra", entonces, usando
P(A
B)=P(A)•P(B), P(A B)=2/5•3/5=6/25
b) Si no hay
reposición, los eventos son dependientes ya que la bolita no es repuesta a
la tómbola, por lo queocupamos
P(A
B)=P(A)•P(B/A)=2/5·3/4=3/10
19. Repita el
problema 2) anterior, pero ahora la pregunta es ¿cuál es la probabilidad de
sacar una blanca y una negra? (note que ahora no importa el orden).
a) Si hay
reposición, esto es, después de sacar la primera bolita, ésta se devuelve
a la tómbola
b) Si no hay
reposición, esto es, después de sacar la primera bolita, ésta no se
devuelve a la tómbola.
a) Usando la
definición, el número total de casos posibles es 5•5=25 y el número de
casos favorables es 2•3+3•2=12(una blanca y una negra ó una negra y una
blanca), luego, P(A)=12/25=48%. O bien,usando las
propiedades, P(A)=P(sacar blanca)•P(sacar después negra)+ P(sacar
negra)•P(sacar después blanca)=2/5·3/5+3/5·2/5=12/35=48%
b) Número de
casos posibles: 5•4=20 y el número de casos favorables =2•3+3•2=12,
luego, P(B)=12/20=3/5=60%. O bien, usando las
propiedades P(B)=P(sacar blanca)•P(sacar negra/sabiendo que ha salido
blanca) +P(sacar negra)•P(sacar blanca/sabiendo que ha salido
negra) =2/5•3/4+3/5•2/4=3/5=60%
20.Para obtener
licencia para conducir, es necesario aprobar tanto el examen teórico como el
práctico. Se sabe que la prob. que un alumno apruebe la parte teórica es 0,68,
la de que apruebe la parte práctica es 0,72 y la de que haya aprobado alguna de
las dos partes es 0,82. Si se elige un alumno al azar, ¿cuál es la prob. de que
apruebe el examen para obtener licencia?
Sea A:
aprobar la parte teórica, (P(A)=0,68)
Sea B: aprobar la parte práctica, (P(B)=0,72)
Debemos calcular la prob. de A y B, P(A B).
Usando P(A B) = P(A)+P(B)-P(A B), despejamos P(A B):
P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B) y reemplazando,
P(A B)=0,68+0,72-0,82=0,58=58%
Sea B: aprobar la parte práctica, (P(B)=0,72)
Debemos calcular la prob. de A y B, P(A B).
Usando P(A B) = P(A)+P(B)-P(A B), despejamos P(A B):
P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B) y reemplazando,
P(A B)=0,68+0,72-0,82=0,58=58%
ESPERANZA MATEMATICA
probabilidad asociada a cada muestra de 4 objetos que se seleccionaron, con lo que se demuestra que las probabilidades no son constantes
formas o maneras de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados = muestras de 4 objetos entre los que 2 son defectuosos
5. 5 fabricantes producen en determinado dispositivo cuya calidad varia de un fabricante a otro. si usted elige 3 fabricantes al azar, hallar la probabilidad que la seleccion contenga 2 de las 3 mejores.
Es un caso de distrIbución hipergeométrica:
P(X=x) = C(d,x) * C(N-d,n-x) / C(N,n)
N --> tamaño de la población N=5
d --> elementos favorables en la población d=3 (los tres mejores)
n --> tamaño de la muestra : n=3
P(X=2) = C(3,2) * C(5-3,3-2) / C(5,3)
P(X=2) = C(3,2) * C(2,1) / C(5,3)
P(X=2) = 0.6 --> 60%
6. En una florería hay 20 variedades de flores, de las cuales 8 son diferentes clases de rosas.
¿Que probabilidad hay de que al extraer una muestra al azar de12 flores , se incluyan 3 clases de rosas?
Es una distribución hipergeométrica , con los siguientes parámetros:
N=tamaño de población =20
n=tamaño de muestra=12
A=éxitos en la población=rosas=8
k=éxitos en la muestra=rosas=3
Sustituimos los valores en la fórmula general:
1.Sabiendo que p(X ≤ 2) = 0.7 y p(X ≥ 2) = 0.75. Hallar:
La esperanza matemática, la varianza y la desviación típica.
| x | p i | x · p i | x 2· pi |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.1 | 0 | 0 |
| 1 | 0.15 | 0.15 | 0.15 |
| 2 | 0.45 | 0.9 | 1.8 |
| 3 | 0.1 | 0.3 | 0.9 |
| 4 | 0.2 | 0.8 | 3.2 |
| 2.15 | 6.05 |
μ =2.15
σ² = 6.05 - 2.15² = 1.4275
σ = 1.19
2.Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable.
E = {(c,c);(c,x);(x,c);(x,x)}
p(+1) = 2/4
p(+2) = 1/4
p(−5) = 1/4
μ = 1 · 2/4 + 2 · 1/4 - 5 · 1/4 = −1/4. Es desfavorable
3.En una ciudad, la temperatura máxima durante el mes de junio está distribuida normalmente con una media de 26º y una desviación típica de 4º.
Calcular el número de días que se "espera", tengan temperatura máxima comprendida entre 22º y 28º.
Como se trata de una distribución Normal, tipificamos (estandarizamos) los valores 22 y 28:
z1= (22 – 26) / 4 = -1
z2 = (28 – 26) / 4 = 0, 5
Entonces la probabilidad de que en un día de junio la temperatura máxima esté entre 22 y 28º es:
p( 22< x < 28) = p( -1 < z < 0,5 ) = 0, 5328
Y el número esperado (esperanza) de días es:
E(x) = n * p = 30 * 0, 5328 ≈ 16 días
Calcular el número de días que se "espera", tengan temperatura máxima comprendida entre 22º y 28º.
Como se trata de una distribución Normal, tipificamos (estandarizamos) los valores 22 y 28:
z1= (22 – 26) / 4 = -1
z2 = (28 – 26) / 4 = 0, 5
Entonces la probabilidad de que en un día de junio la temperatura máxima esté entre 22 y 28º es:
p( 22< x < 28) = p( -1 < z < 0,5 ) = 0, 5328
Y el número esperado (esperanza) de días es:
E(x) = n * p = 30 * 0, 5328 ≈ 16 días
4.Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?
μ = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 €
5.Calcular la esperanza matemática, la varianza, y la desviación típica, de la distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.
| x | p i | x · p i | x 2 · pi |
|---|---|---|---|
| 1 |  | | |
| 2 | |  |  |
| 3 | |  |  |
| 4 | | |  |
| 5 | |  |  |
| 6 | | 1 | 6 |
 |  |
6.Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria X como la suma de las puntuaciones obtenidas. Hallar la función de probabilidad, la esperanza matemática y la varianza.
| x | p i | x · p i | x 2· pi |
|---|---|---|---|
| 2 | 1/36 | 2/36 | 4/36 |
| 3 | 2/36 | 6/36 | 18/36 |
| 4 | 3/36 | 12/36 | 48/36 |
| 5 | 4 /36 | 20/3 6 | 100/36 |
| 6 | 5/36 | 30/36 | 180/36 |
| 7 | 6/36 | 42/36 | 294/36 |
| 8 | 5/36 | 40/36 | 320/36 |
| 9 | 4 /36 | 36/36 | 324/36 |
| 10 | 3/36 | 30/36 | 300/36 |
| 11 | 2/36 | 22/36 | 242/36 |
| 12 | 1/36 | 12/36 | 144/36 |
| 7 | 54.83 |
7.Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de euros como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del juego.
| x | p i | x· p i |
|---|---|---|
| +100 | | 100/6 |
| + 200 | | 200/6 |
| + 300 | | 300/6 |
| - 400 | | -400/6 |
| + 500 | | 500/6 |
| -600 | | - 600/6 |
| 100/6 |
µ =16.667
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
1.
2.
3.
4.
5.Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.
B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5
6.Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
1. Las cinco personas.
B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3
2.Al menos tres personas.
3.Exactamente dos personas.
7.Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?
B(10, 1/5)p = 1/5q = 4/5
8.La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?
B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4
9.En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan puesto el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes.
Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección.
1. Determinar la probabilidad de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones.
2. Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.
10.Un laboratorio afirma que una droga causa efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?
1. Ningún paciente tenga efectos secundarios.
B(100, 0.03) p = 0.03 q = 0.97
2.Al menos dos tengan efectos secundarios.
3.¿Cuál es el número medio de pacientes que espera laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar?
11.La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2 personas?
B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2
2.¿Y cómo máximo 2?
12.
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA
1.Considerando que en la urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos, si de seleccionan 4 objetos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosos?
Solución:
N = 10 objetos en total
a = 3 objetos defectuosos
n = 4 objetos seleccionados en muestra
x = 2 objetos defectuosos deseados en la muestra
donde:
probabilidad asociada a cada muestra de 4 objetos que se seleccionaron, con lo que se demuestra que las probabilidades no son constantes formas o maneras de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados = muestras de 4 objetos entre los que 2 son defectuosos
Como se observa en el desarrollo de la solución del problema, la pretensión es demostrar que las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.
Luego la probabilidad de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados al azar sería:
2.
- Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?.
Solución:
a) N = 9+6 =15 total de tabletas
a = 6 tabletas de narcótico
n = 3 tabletas seleccionadas
x = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcótico = variable que nos indica el número de tabletas de narcótico que se puede encontrar al seleccionar las 3 tabletas
p(viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = p(de que entre las 3 tabletas seleccionadas haya 1 o más tabletas de narcótico)
otra forma de resolver;
p(el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = 1 – p(de que entre las tabletas seleccionadas no haya una sola de narcótico)
b) p(no sea arrestado por posesión de narcóticos)
3.
- De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que , a) los 4 exploten?, b) al menos 2 no exploten?
Solución:
a) N = 10 proyectiles en total
a = 7 proyectiles que explotan
n = 4 proyectiles seleccionados
x = 0, 1, 2, 3 o 4 proyectiles que explotan = variable que nos define el número de proyectiles que explotan entre la muestra que se dispara
b) N = 10 proyectiles en total
a = 3 proyectiles que no explotan
n = 4 proyectiles seleccionados
x = 0, 1, 2 o 3 proyectiles que no explotan
p(al menos 2 no exploten) = p( 2 o más proyectiles no exploten) = p(x = 2 o 3; n=4) =
4.
- ¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehúse a servir bebidas alcohólicas únicamente a dos menores de edad si verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tienen la edad suficiente?, b) ¿Cúal es la probabilidad de que como máximo 2 de las identificaciones pertenezcan a menores de edad?
Solución:
a) N = 9 total de estudiantes
a = 4 estudiantes menores de edad
n = 5 identificaciones seleccionadas
x = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad
x = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad
b) N = 9 total de estudiantes
a = 4 estudiantes menores de edad
n = 5 identificaciones seleccionadas
x = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad
x = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad
5. 5 fabricantes producen en determinado dispositivo cuya calidad varia de un fabricante a otro. si usted elige 3 fabricantes al azar, hallar la probabilidad que la seleccion contenga 2 de las 3 mejores.
Es un caso de distrIbución hipergeométrica:
P(X=x) = C(d,x) * C(N-d,n-x) / C(N,n)
N --> tamaño de la población N=5
d --> elementos favorables en la población d=3 (los tres mejores)
n --> tamaño de la muestra : n=3
P(X=2) = C(3,2) * C(5-3,3-2) / C(5,3)
P(X=2) = C(3,2) * C(2,1) / C(5,3)
P(X=2) = 0.6 --> 60%
¿Que probabilidad hay de que al extraer una muestra al azar de12 flores , se incluyan 3 clases de rosas?
Es una distribución hipergeométrica , con los siguientes parámetros:
N=tamaño de población =20
n=tamaño de muestra=12
A=éxitos en la población=rosas=8
k=éxitos en la muestra=rosas=3
Sustituimos los valores en la fórmula general:
Realizando cálculos , obtenemos:
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